Relation de Chasles : 5 exercices corrigés pour comprendre les vecteurs

Pour trois points A, B et C, la relation de Chasles s’écrit AB⃗ + BC⃗ = AC⃗. Le premier déplacement conduit de A à B, le second de B à C. Leur somme conduit donc de A à C. Le point B est une étape intermédiaire ; il disparaît de l’écriture finale. Les trois points peuvent former un triangle, être alignés ou même coïncider.

La lettre d’arrivée du premier vecteur doit être la lettre de départ du suivant. Ce repère visuel aide à reconnaître une chaîne, mais il faut conserver le sens des déplacements. Ici, AB⃗ désigne le vecteur allant de A vers B. Le segment [AB] et la longueur AB sont d’autres objets.

À simplifier : AB⃗ + BC⃗ + CD⃗. On commence par les deux premiers termes : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗. Puis AC⃗ + CD⃗ = AD⃗. La réponse est donc AD⃗. Le départ initial reste A et l’arrivée finale reste D.

Pour vérifier le raisonnement, dessinez quatre points quelconques et tracez les flèches dans l’ordre. Il n’est pas nécessaire que les flèches aient la même direction. Si le dessin semble revenir en arrière à un moment, la relation reste vraie : les déplacements se composent même lorsque le trajet fait un détour. On additionne des vecteurs, pas les longueurs parcourues.

À simplifier : AB⃗ + CD⃗ + BC⃗. L’addition des vecteurs est commutative : on peut changer l’ordre des termes sans retourner leurs flèches. Écrivons AB⃗ + BC⃗ + CD⃗. On retrouve alors la chaîne précédente et le résultat AD⃗.

La distinction est importante : déplacer le terme CD⃗ dans la somme ne le transforme pas en DC⃗. Pour travailler proprement, commencez par chercher le vecteur qui part du point d’arrivée du premier terme, puis continuez jusqu’à épuiser la chaîne. Si aucune chaîne ne se présente immédiatement, ne supprimez pas des lettres au hasard ; une autre transformation peut être nécessaire.

À simplifier : AB⃗ − AC⃗. Soustraire AC⃗ revient à ajouter son opposé, CA⃗. Ainsi AB⃗ − AC⃗ = AB⃗ + CA⃗. En changeant l’ordre de la somme, on obtient CA⃗ + AB⃗ = CB⃗.

Le résultat est bien CB⃗ et non BC⃗. Pour contrôler le signe, prenez trois points sur une ligne : A d’abscisse 0, B d’abscisse 5, C d’abscisse 2. Le calcul donne 5 − 2 = 3, correspondant au déplacement de C vers B. Cette vérification numérique ne remplace pas la démonstration générale ; elle permet de repérer une inversion avant de recopier une réponse erronée.

À simplifier : AB⃗ + BC⃗ + CA⃗. Les deux premiers déplacements donnent AC⃗. Il reste AC⃗ + CA⃗ = AA⃗ = 0⃗. Revenir au point de départ produit un déplacement total nul, même si le chemin parcouru a une longueur positive.

Cette différence évite un piège fréquent. Si deux déplacements perpendiculaires mesurent respectivement 3 et 4 unités, le trajet suivi mesure 7 unités, tandis que le déplacement direct a une norme de 5 unités dans un repère orthonormé. Chasles concerne la somme vectorielle. Elle ne dit jamais que les longueurs AB, BC et AC vérifient automatiquement AB + BC = AC.

Simplifiez MN⃗ + PM⃗ + NQ⃗. Écrivez d’abord un ordre qui permette de suivre les points. Vous pouvez faire un petit dessin, mais gardez les lettres visibles pour justifier chaque étape.

Pour aller un peu plus loin, développez 2AB⃗ + BC⃗ sous la forme AB⃗ + AB⃗ + BC⃗. On obtient AB⃗ + AC⃗. Le coefficient 2 ne disparaît pas : une seule copie de AB⃗ a été associée à BC⃗.

Prenons A(−2 ; 1), B(3 ; 4) et C(1 ; −2). On calcule AB⃗ = (5 ; 3), BC⃗ = (−2 ; −6) et AC⃗ = (3 ; −3). La somme des deux premiers vaut bien (5 − 2 ; 3 − 6) = (3 ; −3). Retrouvez la méthode dans le guide des coordonnées d’un vecteur.

Ce travail est une révision des opérations vectorielles utile en seconde. Le programme publié en 2026 et les ressources officielles Éduscol fournissent le cadre scolaire ; les exercices de cette page sont des créations de Repère Maths.