Coordonnées d’un vecteur en seconde : la méthode arrivée moins départ

Dans un repère, si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors AB⃗ = (x_B − x_A ; y_B − y_A). On soustrait les abscisses entre elles, puis les ordonnées entre elles. Écrivez les parenthèses avant de faire le calcul : elles protègent les signes.

Le vecteur décrit un déplacement horizontal et vertical. Un point, lui, décrit une position par rapport à l’origine. Les coordonnées de B ne sont donc pas automatiquement celles de AB⃗. Ce serait le cas uniquement si A était l’origine du repère. Pour les coordonnées d’un déplacement, un repère suffit ; l’orthonormalité devient nécessaire pour certaines formules de distance.

Prenons A(−3 ; 2) et B(4 ; −5). Pour l’abscisse du vecteur, on obtient 4 − (−3) = 4 + 3 = 7. Pour son ordonnée, on obtient −5 − 2 = −7. Ainsi AB⃗ = (7 ; −7) : sept unités vers la droite et sept unités vers le bas.

La lecture graphique confirme les signes. En allant de A à B, l’abscisse augmente, donc la première coordonnée est positive ; l’ordonnée diminue, donc la seconde est négative. Une vérification du sens est souvent plus rapide qu’un nouveau calcul complet. Elle permet notamment de détecter une réponse (−7 ; 7), qui correspondrait au déplacement inverse.

Avec les mêmes points, BA⃗ = (−3 − 4 ; 2 − (−5)) = (−7 ; 7). On retrouve la propriété BA⃗ = −AB⃗. Il faut changer les deux signes, même si l’une des coordonnées vaut zéro. Le vecteur opposé ne s’obtient pas en échangeant l’abscisse et l’ordonnée.

Les coordonnées seules ne fixent pas une position unique pour la flèche. On peut représenter le même déplacement à partir de nombreux points. Deux flèches situées dans des zones différentes du repère peuvent donc représenter un même vecteur. En revanche, elles doivent avoir exactement les mêmes coordonnées : ressembler visuellement ou être parallèles ne suffit pas à établir leur égalité.

On donne C(1 ; 6) et on cherche D tel que CD⃗ = AB⃗ = (7 ; −7). Les équations sont x_D − 1 = 7 et y_D − 6 = −7. On en déduit D(8 ; −1). On ajoute le déplacement aux coordonnées du point de départ.

Contrôlez ensuite dans la formule initiale : CD⃗ = (8 − 1 ; −1 − 6) = (7 ; −7). Cette dernière ligne évite de valider une construction faite dans le mauvais sens. Si l’énoncé donne le point d’arrivée et demande le départ, il faut au contraire retirer le déplacement. Par exemple, avec AM⃗ = (3 ; 7) et M(1 ; 5), on retrouve A(−2 ; −2).

Pour A(−3 ; 2), B(4 ; −5) et C(1 ; 6), nous avons AB⃗ = (7 ; −7) et BC⃗ = (−3 ; 11). Leur somme vaut (7 + (−3) ; −7 + 11) = (4 ; 4). Le calcul direct de AC⃗ donne (1 − (−3) ; 6 − 2) = (4 ; 4).

On retrouve la relation de Chasles. Pour multiplier un vecteur par un nombre, on multiplie aussi chaque coordonnée : 2AB⃗ = (14 ; −14). Multiplier une seule coordonnée modifierait le déplacement d’une autre façon et ne représenterait généralement pas le double du vecteur.

On donne A(2 ; −1), B(−4 ; 3) et C(5 ; 2). Calculez AB⃗, puis déterminez D tel que CD⃗ = AB⃗. Essayez d’écrire les deux équations avant d’ouvrir la correction. Un dessin peut vous aider à prévoir le sens du résultat.

Si vous avez trouvé D(11 ; −2), vous avez appliqué le déplacement opposé. Reprenez la phrase « de C vers D » et placez les coordonnées de D en premier dans chaque soustraction.

Une fois les déplacements calculés, ils servent à justifier l’égalité de vecteurs, l’alignement ou la position d’un milieu. Pour tester trois points, poursuivez avec le déterminant et l’alignement. Gardez vos valeurs exactes : un arrondi prématuré peut transformer un zéro exact en petite valeur non nulle.

Le calcul de coordonnées figure dans le cadre de géométrie du programme officiel de seconde publié en 2026. La page Éduscol consacrée aux programmes de mathématiques permet de retrouver le texte et ses ressources. Nos exemples numériques sont originaux et indépendants des exercices d’un manuel.