Milieu d’un segment : coordonnées, point manquant et exercice corrigé

Pour A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), le milieu M de [AB] a pour coordonnées ((x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2). On additionne les deux abscisses entre elles et les deux ordonnées entre elles, puis on divise chaque somme par deux.

La formule est valable dans un repère, même si les axes ne sont pas perpendiculaires ou n’ont pas la même unité graphique. Elle exprime une propriété affine du milieu. Gardez les fractions quand elles sont exactes : 7/2 est souvent plus commode qu’un arrondi, surtout si le résultat doit être réutilisé dans un déterminant ou une autre égalité.

On donne A(−3 ; 4) et B(5 ; −2). L’abscisse du milieu est (−3 + 5)/2 = 2/2 = 1. Son ordonnée est (4 + (−2))/2 = 2/2 = 1. Le milieu est donc M(1 ; 1).

On peut déjà vérifier que chaque coordonnée se situe entre celles des extrémités : 1 est entre −3 et 5, et entre −2 et 4. Cette observation ne suffit pas à démontrer qu’un point est le milieu, mais elle détecte des erreurs grossières. Une réponse M(4 ; −3), par exemple, ne serait pas compatible avec les valeurs de l’exemple.

Le milieu M vérifie AM⃗ = MB⃗ : depuis A, on effectue la première moitié du déplacement ; depuis M, on effectue la même moitié jusqu’à B. En coordonnées, x_M − x_A = x_B − x_M. En regroupant les termes, 2x_M = x_A + x_B. On obtient la formule de l’abscisse, puis le même raisonnement donne celle de l’ordonnée.

Dans notre exemple, AM⃗ = (4 ; −3) et MB⃗ = (4 ; −3). Les déplacements sont égaux. On peut aussi écrire AM⃗ = (1/2)AB⃗ ou MA⃗ + MB⃗ = 0⃗. Ces trois écritures décrivent la même situation sous des formes différentes ; choisissez celle qui sert votre démonstration.

On connaît A(4 ; −2) et le milieu M(−1 ; 3) de [AB]. Pour retrouver B, partez des moyennes : (4 + x_B)/2 = −1 et (−2 + y_B)/2 = 3. En multipliant par deux, on obtient x_B = −6 et y_B = 8. Ainsi B(−6 ; 8).

La formule pratique est B = 2M − A, coordonnée par coordonnée. Évitez de faire la moyenne de A et M : cela donnerait un point entre A et M, alors que B doit se trouver de l’autre côté de M. La vérification finale redonne ((4 − 6)/2 ; (−2 + 8)/2) = (−1 ; 3).

Supposons A(−2 ; 1), B(3 ; 2), C(4 ; 6) et cherchons D pour que ABCD soit un parallélogramme, dans cet ordre. Ses diagonales sont [AC] et [BD]. Le milieu de [AC] est I(1 ; 7/2). Pour que [BD] ait le même milieu, on calcule D = 2I − B = (−1 ; 5).

Vérifions : le milieu de [BD] vaut ((3 + (−1))/2 ; (2 + 5)/2) = (1 ; 7/2). Les diagonales ont donc le même milieu. L’ordre des lettres est décisif : en changeant l’ordre du quadrilatère, on ne choisit plus les mêmes diagonales. Commencez par les identifier avant d’appliquer la formule.

Première question : quel est le milieu I de [PQ] pour P(−5 ; 2) et Q(1 ; 8) ? Deuxième question indépendante : J(3 ; −1) est le milieu de [RS] et R(1 ; 5). Déterminez S. Écrivez une ligne de calcul pour chaque coordonnée.

Une erreur fréquente consiste à diviser seulement la seconde coordonnée par deux. Encadrez les deux sommes, ou écrivez deux fractions séparées pour rendre le calcul lisible.

Si l’énoncé demande une construction, une représentation graphique donne un contrôle visuel. S’il demande une preuve, une égalité vectorielle ou deux calculs de moyenne permettent de conclure. La propriété « être à égale distance des extrémités » ne suffit pas seule : de nombreux points de la médiatrice ont cette propriété sans appartenir au segment. Pensez à l’appartenance à [AB].

Pour poursuivre, entraînez-vous avec les sommes de vecteurs et l’alignement de trois points. Les références scolaires sont le programme de seconde publié au BO en 2026 et sa présentation sur Éduscol. Les exemples et corrections de cette page sont originaux.