Trois points alignés ? La méthode du déterminant, avec correction

Pour étudier A, B et C, le choix habituel est AB⃗ et AC⃗. Ils partent du même point, ce qui rend l’interprétation directe. Calculez leurs coordonnées avec la règle arrivée moins départ. Si AB⃗ = (a ; b) et AC⃗ = (c ; d), leur déterminant vaut ad − bc.

Si ce nombre est nul, les deux vecteurs sont colinéaires. Lorsque A et B sont distincts, cela signifie que C appartient à la droite (AB). Si le déterminant est non nul, les trois points ne sont pas alignés. Un schéma peut suggérer une réponse ; le calcul donne ici la justification exacte.

Prenons A(−1 ; 2), B(2 ; 5) et C(5 ; 8). On trouve AB⃗ = (2 − (−1) ; 5 − 2) = (3 ; 3) et AC⃗ = (5 − (−1) ; 8 − 2) = (6 ; 6). Le déterminant est 3 × 6 − 3 × 6 = 0.

On peut donc écrire : « Les vecteurs AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires. Comme A et B sont distincts, A, B et C sont alignés. » On remarque aussi AC⃗ = 2AB⃗, ce qui confirme le résultat. Ce coefficient ne signifie pas que les points sont confondus : C est deux fois plus loin de A que B, dans le même sens.

Gardons A et B, mais prenons D(5 ; 9). Alors AD⃗ = (6 ; 7). Le déterminant de AB⃗ et AD⃗ vaut 3 × 7 − 3 × 6 = 21 − 18 = 3. Il est non nul : A, B et D ne sont pas alignés.

Le point D peut sembler proche de la droite sur un dessin peu précis. Il ne faut pas remplacer une conclusion exacte par « à peu près alignés » quand l’énoncé fournit des coordonnées exactes. Pour des mesures physiques arrondies, la question serait différente et demanderait une tolérance explicitement définie ; ce n’est pas le cadre de cet exercice de géométrie.

Prenons A(2 ; −3), B(2 ; 1) et C(2 ; 6). Les vecteurs sont AB⃗ = (0 ; 4) et AC⃗ = (0 ; 9). Leur déterminant vaut 0 × 9 − 4 × 0 = 0. Les points sont alignés sur la droite d’équation x = 2.

Le déterminant est particulièrement pratique ici : il n’oblige pas à diviser par une coordonnée nulle. Une méthode fondée uniquement sur des quotients peut conduire à écrire 0/0, qui n’est pas défini. Si vous utilisez la proportionnalité des coordonnées, traitez les zéros avec soin. Avec la méthode du déterminant, écrivez simplement les produits dans le bon ordre.

On donne A(1 ; 1), B(4 ; 3) et C(t ; 7). Pour quelle valeur de t les points sont-ils alignés ? On calcule AB⃗ = (3 ; 2) et AC⃗ = (t − 1 ; 6). Le déterminant est 3 × 6 − 2(t − 1) = 20 − 2t.

On impose sa nullité : 20 − 2t = 0, donc t = 10. Vérification : si C(10 ; 7), alors AC⃗ = (9 ; 6) = 3AB⃗. Une bonne rédaction sépare les deux étapes : traduire l’alignement par une équation, puis vérifier la valeur trouvée dans les coordonnées initiales.

Si A = B, le vecteur AB⃗ est nul. Son déterminant avec AC⃗ vaut zéro pour n’importe quel C. Cela ne définit pas une droite (AB), puisqu’un seul point ne suffit pas à déterminer une droite unique. Le calcul n’est pas faux ; c’est la formulation de la conclusion qui doit être adaptée.

Avec seulement deux positions distinctes parmi les trois points, une droite passe par toutes ces positions. Si les trois points sont confondus, une infinité de droites convient. Dans un exercice qui demande « la droite (AB) », contrôlez donc d’abord que A et B sont distincts. Cette vérification prend une ligne et évite une conclusion qui utilise un objet non défini.

On donne E(−2 ; 1), F(1 ; 7), G(3 ; 11) et H(3 ; 10). Étudiez séparément l’alignement de E, F, G puis celui de E, F, H. Calculez EF⃗ une seule fois et réutilisez-le.

Le déterminant et la colinéarité font partie du cadre de géométrie présenté par le programme officiel publié en 2026, accessible aussi depuis Éduscol. Les situations proposées ici ont été construites pour montrer ces vérifications.